QCM Corrigé - Signe et inéquations du second degré

1. Si un polynôme ax²+bx+c a un coefficient a > 0 et un discriminant Δ < 0, quel est son signe ?

Toujours positif
Toujours négatif
Positif entre les racines
Change de signe

Explication : Un discriminant négatif (Δ < 0) signifie que le polynôme n'a pas de racines réelles, il ne coupe donc jamais l'axe des abscisses. Le signe du polynôme est alors constant et dépend du signe de `a`. Comme `a > 0`, la parabole est tournée vers le haut et reste entièrement au-dessus de l'axe des abscisses. Le polynôme est donc toujours positif.

2. Si a < 0 et Δ > 0, le polynôme ax²+bx+c est positif...

Entre ses racines
À l'extérieur de ses racines
Toujours
Jamais

Explication : Un discriminant positif (Δ > 0) indique que le polynôme a deux racines réelles distinctes. Comme `a < 0`, la parabole est tournée vers le bas. Elle se trouve donc au-dessus de l'axe des abscisses (positive) uniquement entre ses racines.

3. Pour quelle(s) valeur(s) de x le polynôme (x - 3)² est-il strictement négatif ?

x = 3
x < 3
Aucune valeur
x > 3

Explication : Le carré d'un nombre réel est toujours supérieur ou égal à zéro. (x - 3)² est donc toujours positif ou nul. Il n'est jamais strictement négatif.

4. Quelle est la solution de l'inéquation x² - 4 > 0 ?

-2 < x < 2
x < -2 ou x > 2
x > 2
x > -2

Explication : Le polynôme x² - 4 a pour racines x = -2 et x = 2. Le coefficient de x² est `a=1` (positif), donc la parabole est tournée vers le haut. Le polynôme est positif à l'extérieur de ses racines.

5. Résoudre l'inéquation x² + 5x + 6 ≤ 0.

-3 ≤ x ≤ -2
x ≤ -3 ou x ≥ -2
2 ≤ x ≤ 3
x ≤ 2 ou x ≥ 3

Explication : On cherche les racines : Δ = 5² - 4(1)(6) = 1. Les racines sont x₁ = -3 et x₂ = -2. Comme `a=1` > 0, la parabole est tournée vers le haut. Le polynôme est négatif ou nul entre ses racines.

6. Quel est l'ensemble des solutions de x² + x + 1 > 0 ?

∅ (l'ensemble vide)
x > -1
ℝ (l'ensemble des réels)
-1 < x < 1

Explication : Δ = 1² - 4(1)(1) = -3. Comme Δ < 0 et `a=1` > 0, le polynôme est toujours positif.

7. Résoudre -x² + 2x - 1 ≥ 0.

x = 1
ℝ
∅
x ≥ 1

Explication : Le polynôme peut se réécrire -(x² - 2x + 1) = -(x - 1)². Un carré est toujours positif ou nul, donc -(x - 1)² est toujours négatif ou nul. La seule solution pour qu'il soit supérieur ou égal à 0 est qu'il soit égal à 0, c'est-à-dire pour x = 1.

8. Si a > 0 et Δ = 0, le polynôme ax²+bx+c est...

Positif ou nul
Strictement positif
Strictement négatif
Change de signe

Explication : Un discriminant nul (Δ = 0) signifie que le polynôme a une seule racine réelle (double). La parabole touche l'axe des abscisses en un seul point (son sommet). Comme `a > 0`, elle est tournée vers le haut et est positive partout ailleurs.

9. Quelle est la solution de (x - 5)(x + 1) < 0 ?

x < -1 ou x > 5
x < -5 ou x > 1
-1 < x < 5
-5 < x < 1

Explication : Les racines sont -1 et 5. Le développement donne x² - 4x - 5. Le coefficient `a=1` est positif, donc le polynôme est négatif entre ses racines.

10. Résoudre l'inéquation 2x² - 8x + 8 > 0.

ℝ
x ≠ 2
x > 2
∅

Explication : On peut factoriser par 2 : 2(x² - 4x + 4) > 0, ce qui donne 2(x - 2)² > 0. L'expression (x-2)² est nulle pour x=2 et strictement positive for toutes les autres valeurs de x.

11. Quel est le signe du polynôme -3x² - 2x - 1 ?

Toujours négatif
Toujours positif
Positif entre les racines
Négatif entre les racines

Explication : Δ = (-2)² - 4(-3)(-1) = 4 - 12 = -8. Comme Δ < 0 et `a=-3` < 0, le polynôme est toujours négatif.

12. Résoudre x² ≤ 9.

x ≤ 3
-3 ≤ x ≤ 3
x ≤ -3 ou x ≥ 3
x ≥ 3

Explication : L'inéquation est équivalente à x² - 9 ≤ 0. Les racines sont -3 et 3. Le polynôme est négatif ou nul entre ses racines.

13. L'inéquation x² + 4x + 4 < 0 a pour solution...

x = -2
∅ (l'ensemble vide)
x < -2
ℝ

Explication : L'expression est l'identité remarquable (x + 2)². Un carré ne peut pas être strictement négatif.

14. Résoudre 3x² - 7x + 2 ≥ 0.

1/3 ≤ x ≤ 2
x ≤ -2 ou x ≥ -1/3
x ≤ 1/3 ou x ≥ 2
-2 ≤ x ≤ -1/3

Explication : Δ = (-7)² - 4(3)(2) = 25. Les racines sont x₁ = 1/3 et x₂ = 2. Comme `a=3` > 0, le polynôme est positif ou nul à l'extérieur de ses racines.

15. Si un polynôme s'annule en -1 et 4, et que son coefficient a est négatif, où est-il positif ?

]-1, 4[
]-∞, -1[ U ]4, +∞[
[-1, 4]
Nulle part

Explication : Si `a` est négatif, la parabole est tournée vers le bas. Elle est positive entre ses racines.

16. Résoudre -x² + 9 > 0.

]-∞, -3[ U ]3, +∞[
]0, 9[
]-3, 3[
]-∞, -9[ U ]9, +∞[

Explication : C'est équivalent à 9 > x², ou x² < 9. Les racines de x² - 9 sont -3 et 3. Le polynôme x²-9 est négatif entre ses racines.

17. Pour quelle(s) valeur(s) de x le polynôme -2(x+1)² est-il strictement positif ?

x = -1
x > -1
Aucune valeur
x < -1

Explication : (x+1)² est toujours ≥ 0. Multiplié par -2, l'expression est donc toujours ≤ 0. Elle n'est jamais strictement positive.

18. Résoudre l'inéquation -5x² + 3x + 2 > 0.

]-2/5, 1[
]-∞, -2/5[ U ]1, +∞[
]-1, 2/5[
]-∞, -1[ U ]2/5, +∞[

Explication : Δ = 3² - 4(-5)(2) = 49. Les racines sont x₁ = -2/5 et x₂ = 1. Comme `a=-5` < 0, le polynôme est positif entre ses racines.

19. Si a < 0 et Δ = 0, quel est le signe de ax²+bx+c ?

Négatif ou nul
Strictement négatif
Strictement positif
Positif ou nul

Explication : Avec Δ = 0, la parabole touche l'axe des abscisses en un point. Comme `a < 0`, elle est tournée vers le bas et est négative partout ailleurs.

20. Résoudre l'inéquation (3 - x)(x + 2) > 0.

x < -2 ou x > 3
-2 < x < 3
x < -3 ou x > 2
-3 < x < 2

Explication : Les racines sont -2 et 3. En développant, on a -x² + x + 6. Le coefficient `a=-1` est négatif, donc le polynôme est positif entre ses racines.

21. L'inéquation x² < 0 a pour solution...

x = 0
ℝ
x < 0
∅

Explication : Un carré est toujours positif ou nul, jamais strictement négatif.

22. Résoudre 4x² - 12x + 9 ≤ 0.

∅
x = 3/2
x ≤ 3/2
ℝ

Explication : C'est l'identité remarquable (2x - 3)². Un carré ne peut être négatif. Il peut seulement être nul, ce qui arrive pour x = 3/2.

23. Quel est le signe du polynôme x² + 10x + 25 ?

Positif ou nul
Strictement positif
Toujours négatif
Change de signe

Explication : C'est l'identité remarquable (x + 5)², qui est toujours positive ou nulle.

24. Résoudre -2x² + 3x - 2 > 0.

ℝ
∅
x > 1
1/2 < x < 2

Explication : Δ = 3² - 4(-2)(-2) = -7. Comme Δ < 0 et `a=-2` < 0, le polynôme est toujours négatif.

25. Si a > 0 et Δ > 0, avec les racines x₁ et x₂, le polynôme ax²+bx+c est négatif...

Entre les racines ]x₁, x₂[
À l'extérieur des racines
Jamais
Toujours

Explication : C'est une règle de base du signe d'un trinôme. Si `a > 0`, le polynôme est du signe de `-a` (donc négatif) entre ses racines.

26. Résoudre l'inéquation x² + 3 ≥ 0.

ℝ
x ≥ √3
[-√3, √3]
∅

Explication : x² est toujours ≥ 0, donc x² + 3 est toujours ≥ 3. L'inéquation est donc toujours vraie.

27. Résoudre 5x² - 2x - 3 < 0.

x < -3/5 ou x > 1
-1 < x < 3/5
-3/5 < x < 1
x < -1 ou x > 3/5

Explication : Δ = (-2)² - 4(5)(-3) = 64. Les racines sont x₁ = -3/5 et x₂ = 1. Comme `a=5` > 0, le polynôme est négatif entre ses racines.

28. L'inéquation -(x - 4)² ≥ 0 a pour solution...

∅
ℝ
x = 4
x ≥ 4

Explication : (x - 4)² est toujours ≥ 0, donc -(x - 4)² est toujours ≤ 0. La seule possibilité pour que ce soit ≥ 0 est que ce soit égal à 0, soit pour x = 4.

29. Quel est le signe du polynôme (x-1)² + 3 ?

Toujours positif
Toujours négatif
Change de signe en x=1
Change de signe en x=-3

Explication : La valeur minimale de (x-1)² est 0. La valeur minimale de toute l'expression est donc 0 + 3 = 3. Elle est donc toujours strictement positive.

30. Résoudre x² - 7x > 0.

0 < x < 7
x < 0 ou x > 7
x > 7
x > 0

Explication : On factorise en x(x - 7) > 0. Les racines sont 0 et 7. Comme `a=1` > 0, le polynôme est positif à l'extérieur de ses racines.

31. L'inéquation -x² - 10 > 0 a pour solution...

∅
ℝ
]-√10, √10[
x > -10

Explication : -x² est toujours ≤ 0, donc -x² - 10 est toujours ≤ -10. L'expression ne peut jamais être positive.

32. Résoudre (1 - 2x)(x + 4) ≤ 0.

x ≤ -4 ou x ≥ 1/2
-4 ≤ x ≤ 1/2
x ≤ -1/2 ou x ≥ 4
-1/2 ≤ x ≤ 4

Explication : Les racines sont -4 et 1/2. Le développement donne -2x² - 7x + 4. Comme `a=-2` < 0, le polynôme est négatif ou nul à l'extérieur de ses racines.

33. Quel est le signe de -x² + 6x - 9 ?

Toujours négatif
Strictement négatif
Négatif ou nul
Change de signe

Explication : C'est l'expression -(x² - 6x + 9) = -(x - 3)², qui est toujours négative ou nulle.

34. Résoudre 10x² + x - 3 ≥ 0.

x ≤ -3/5 ou x ≥ 1/2
-3/5 ≤ x ≤ 1/2
x ≤ -1/2 ou x ≥ 3/5
-1/2 ≤ x ≤ 3/5

Explication : Δ = 1² - 4(10)(-3) = 121. Les racines sont x₁ = -3/5 et x₂ = 1/2. Comme `a=10` > 0, le polynôme est positif ou nul à l'extérieur de ses racines.

35. Un polynôme P(x) a pour racines 2 et 5 et un coefficient a > 0. Quel est le signe de P(1) ?

Positif
Négatif
Nul
On ne peut pas savoir

Explication : La valeur x=1 se trouve à l'extérieur de l'intervalle des racines [2, 5]. Comme `a > 0`, le polynôme est positif à l'extérieur de ses racines.

36. Un polynôme Q(x) a pour racines -3 et 1 et un coefficient a < 0. Quel est le signe de Q(0) ?

Négatif
Positif
Nul
On ne peut pas savoir

Explication : La valeur x=0 se trouve entre les racines -3 et 1. Comme `a < 0`, le polynôme est positif entre ses racines.

37. Résoudre x² - 2x + 1 > 0.

x = 1
ℝ
x > 1
x ≠ 1

Explication : C'est l'identité remarquable (x - 1)², qui est strictement positive partout sauf en x = 1 où elle est nulle.

38. Résoudre 36 - x² ≥ 0.

x ≥ 6 ou x ≤ -6
x ≥ 6
-6 ≤ x ≤ 6
x ≤ 6

Explication : Équivalent à x² ≤ 36. Les racines de x² - 36 sont -6 et 6. Le polynôme est négatif ou nul entre ses racines.

39. Pour quelles valeurs de x le polynôme -x² - 4x - 5 est-il positif ?

ℝ
Pour aucune valeur
Pour x > -1
Pour x < -2

Explication : Δ = (-4)² - 4(-1)(-5) = -4. Comme Δ < 0 et `a=-1` < 0, le polynôme est toujours négatif.

40. L'inéquation x² + 8x + 16 ≤ 0 a pour solution...

∅
ℝ
x = -4
x ≤ -4

Explication : C'est l'identité remarquable (x + 4)². Un carré ne peut pas être négatif. Il peut seulement être nul, ce qui arrive pour x = -4.

QCM avec correction - Signe et inéquations du second degré